คณิตศาสตร์

วันศุกร์ที่ 13 มกราคม พ.ศ. 2555

ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ซึ่งในสองคู่อันดับใดๆ ของความสัมพันธ์นั้น ถ้าสมาชิกตัวหน้าเหมือนกันแล้ว สมาชิกตัวหลังต้องไม่ต่างกัน

นั่นคือ

ถ้า (x₁,y₁) ∈ r และ (x₁,y₂) ∈ r แล้ว y₁= y₂

หลักในการพิจารณาว่าความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันหรือไม่

1. ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปแจกแจงสมาชิก ให้ดูว่าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกันหรือไม่ ถ้าสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับซ้ำกัน แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน

2. ถ้าความสัมพันธ์นั้นอยู่ในรูปของการกำหนดเงื่อนไขสมาชิก
r = {(x,y) ∈ A× B | P(x,y) } ให้แทนค่าแต่ละสมาชิกของ x ลงในเงื่อนไข P(x,y) เพื่อหาค่า y ถ้ามี x ตัวใดที่ให้ค่า y มากกว่า 1 ค่า แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน

3. พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์ โดยการลากเส้นตรงขนานกับแกน y ถ้าเส้นตรงดังกล่าวตัดกราฟของความสัมพันธ์มากกว่า 1 จุด แสดงว่าความสัมพันธ์นั้นไม่เป็นฟังก์ชัน

• ฟังก์ชันจาก A ไป B

f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนคือเซต A และเรนจ์เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย f : A → B

• ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B

f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซต A และเรนจ์เป็นของเซต B เขียนแทนด้วย f : A B

• ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B

f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B ซึ่งถ้า y ∈ R _f
แล้วมี x ∈ D_f เพียงตัวเดียวเท่านั้นที่ทำให้ (x,y) ∈ f เขียนแทนด้วย f : B
หรืออาจกล่าวอย่างง่ายๆได้ว่า f เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ก็ต่อเมื่อสำหรับ x₁และ x₂ในโดเมน ถ้า
f( x₁) = f( x₂) แล้ว x₁= x₂

• ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด

ให้ f เป็นฟังก์ชันจากสับเซตของ R× R และ A ⊂ D_f

♦ f เป็นฟังก์ชันเพิ่มใน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x₁และ x₂ใดๆ ใน A

ถ้า x₁< x₂แล้ว f( x₁) < f( x₂)

♦ f เป็นฟังก์ชันลดใน A ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x₁และ x₂ใดๆ ใน A

ถ้า x₁< x₂แล้ว f( x₁) > f( x₂)

• ฟังก์ชันเชิงเส้น (linear function)

กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นจะมีลักษณะเป็นเส้นตรง


a < 0	a = 0	a > 0

• ฟังก์ชันขั้นบันได (step function)

กราฟของฟังก์ชันนี้จะมีรูปร่างคล้ายขั้นบันได

• ฟังก์ชันกำลังสอง (quadratic function)

กราฟของฟังก์ชันกำลังสองจะมีลักษณะเป็นรูปพาราโบลา

• ฟังก์ชันพหุนาม (polynomial function)

• ฟังก์ชันตรรกยะ (rational function)

• ฟังก์ชันที่เป็นคาบ (periodic function)

f เป็นฟังก์ชันที่เป็นคาบ ก็ต่อเมื่อ มีำจำนวนจริง p ที่ทำให้ f(x+p) = f(x) สำหรับ ทุกค่าของ x และ x+p ที่อยู่ในโดเมนของ f

ไม่มีความคิดเห็น:

แสดงความคิดเห็น

ซื่อสัตย์

ความซื่อสัตย์

ในสังคมวันนี้ ความซื่อสัตย์ได้กลับกลายเป็นเรื่องเล็กน้อยเมื่อคนส่วนใหญ่ละเลย ด้วยจิตสำนึกผิดชอบที่คิดว่าเป็นเรื่องที่สามารถปฏิบัติได้โดยง่าย แต่ในความจริงแล้วความซื่อสัตย์เป็นเรื่องท้าทายใจอยู่ทุกขณะจิต เราต้องตัดสินใจที่ตอบรับหรือปฏิเสธว่าเราจะยังเดินอยู่ในกรอบแห่งความถูกต้องหรือไม่ ความซื่อสัตย์ที่แท้จริงยังเป็นเรื่องที่ต้องวัดได้ในขณะที่ยังไม่มีใครควบคุม ไม่มีใครรู้ไม่มีใครเห็น ไม่มีใครมาคอยบังคับอีกด้วย ความซื่อสัตย์เป็นสิ่งที่มาจากใจจริง : ความซื่อสัตย์ในสังคมจัดเป็นปัญหาระดับชาติที่เริ่มตั้งแต่ตัวบุคคล สังคม และประเทศชาติ ภัยร้ายของความไม่ซื่อสัตย์ในสังคมมีมูลเหตุจากค่านิยมในการวัดความสำเร็จจากความมั่นคั่งแห่งอำนาจเงินและวัตถุ ก่อให้เกิดพฤติกรรมการดำเนินชีวิตในลักษณะกอบโกย ฉ้อฉล คดโกง ใช้อิทธิพลขู่บังคับแลกกับความมั่งคั่งให้มากและรวดเร็วที่สุด การดำเนินชีวิตที่ไม่ซื่อสัตย์ จะกลายเป็นความน่าเศร้าในระยะต่อไป บุคคลเหล่านี้อาจจะไม่รู้ว่าตนเองได้ยึดความล้มเหลวที่ถูกปิดซ่อนมองไม่เห็นไว้ด้วยความหลงผิด เพราะแท้จริงแล้วมันคือ ความล้มเหลวที่เปรียบเสมือนระเบิดเวลาแห่งความหวาดกลัวที่เกรงว่าคนจะจับได้ เป็นเหมือนหนามเล็กๆที่คอยทิ่มแทงใจ การตั้งมั่นอยู่ในความซื่อสัตย์เป็นเรื่องของความจำเป็น : ไม่มีใครปรารถนาอยู่ในสังคมที่ปราศจากความซื่อสัตย์เพราะจะต้องอยู่อย่างหวาดระแวงและไม่มีความสุข เราต่างก็ปรารถนาความจริงใจจากกันและกันทั้งสิ้น ไม่ว่าจะเป็นความซื่อสัตย์จากครอบครัว ชุมชน หรือสังคม หากเราเป็นผู้หนึ่งที่มีความมุ่งหมายในเป้าชีวิตสู่ความสำเร็จที่ยั่งยืน เราต้องปฏิเสธการดำเนินชีวิตที่เห็นเพียงแต่ผลประโยชน์ระยะสั้นเฉกเช่นเดียวกับคนที่ดำเนินชีวิตคดโกงอื่นๆ ที่มีอยู่ในสังคม เราจำเป็นต้องยึดมั่นอยู่ในความซื่อสัตย์ และพัฒนาจิตสำนึกภายในให้มั่นคงโดยยึดหลักแห่งการตัดสินใจที่ละเลือกความซื่อสัตย์อย่างแท้จริง สาเหตุของความไม่ซื่อสัตย์ประเภทหนึ่ง คือ ความหลงอำนาจ เมื่อมีอำนาจเพิ่มมากขึ้น คนเราก็มักจะมีแนวโน้มที่จะใช้อำนาจในทางที่ผิดมากขึ้นด้วย คือ เมื่อมีอำนาจก็หลงตน คิดว่าประสบความสำเร็จและสามารถจะทำอะไรก็ได้ รากแห่งความไม่ซื่อสัตย์ในชีวิตอาจทำให้ผู้มีอำนาจหลงไปโดยการใช้อำนาจในทางที่ผิดได้ บางคนอาจถูกล่อลวงด้วยเงินทอง เกียรติยศ ชื่อเสียง จนกระทั่งปฏิเสธความซื่อสัตย์ที่มีอยู่ในชีวิตอย่างสิ้นเชิง ตระหนักว่าความซื่อสัตย์เป็นบ่อเกิดแห่งความน่าเชื่อถือและความไว้วางใจ : เราควรยึดถือคติพจน์ไทยโบราณที่ค่อนข้างถูกปฏิเสธแล้วในสังคมปัจจุบันว่า "ซื่อกินไม่หมด คิดกินไม่นาน" คนทั่วไปอาจทึ่งในความสามารถ แต่เราควรให้คนประทับใจในลักษณะชีวิตความซื่อสัตย์ของเราด้วยในเส้นทางชีวิตที่ยาวไกล ความซื่อสัตย์ต้องเริ่มตั้งแต่เรื่องเล็กน้อย : ความซื่อสัตย์ต้องเริ่มตั้งแต่เรื่องเล็กๆ หากเราไม่ซื่อสัตย์ในเรื่องเล็กน้อย เรื่องใหญ่เราก็จะไม่ซื่อสัตย์ด้วย ไม่ว่าจะกระทำการใดเราควรได้กระทำด้วยความรับผิดชอบตามกฎระเบียบ หากทำผิดก็ต้องรับผิด อย่าพลิกแพลงหรือแก้ตัว การแก้ตัวนั้นถือได้ว่า เป็นการไม่ซื่อสัตย์ต่อตนเอง ถึงแม้อาจจะฟังดีมีเหตุผล แต่ไม่มีประโยชน์ในการดำเนินชีวิตและกลับยิ่งเป็นการลดคุณค่าตัวเองมากยิ่งขึ้น หากเราทำดีมาร้อยครั้งแต่เมื่อเราทำผิดและแก้ตัว บุคคลอื่นก็จะเริ่มสงสัยไม่ไว้วางใจเรา เริ่มไม่อยากมอบหมายความรับผิดชอบให้กับเรา ดังนั้น เราจึงควรยอมรับความจริงได้แม้เราผิดพลาดไป และดำเนินชีวิตด้วยความมั่นใจว่าความซื่อสัตย์ที่เราพากเพียรทำไว้นั้นจะสามารถปกป้องเราไว้ได้อย่างแน่นอน ความซื่อสัตย์สามารถพัฒนาได้ : ความซื่อสัตย์เป็นเรื่องที่พัฒนาได้และเราควรมีแรงบันดาลใจอยากเป็นคนซื่อสัตย์ได้โดยตั้งคำถามว่า "เราอยากประสบความสำเร็จในระยะยาวหรือระยะสั้น" ความสำเร็จอย่างยั่งยืนริเริ่มได้ด้วยความตั้งใจจริงที่จะเอาชนะความฉ้อฉลที่พร้อมจะเกิดขึ้นในจิตใจของเรา